Рассматривается классическая задача о конвективном течении в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу в приближении плоских траекторий в случае, когда широкие границы имеют произвольную теплопроводность по сравнению с теплопроводностью рабочей жидкости.

1 Постановка задачи

1.1 Уравнения тепловой конвекции

Рис. 1: Геометрия ячейки Хеле – Шоу

Ячейка Хеле - Шоу представляет собой плоскую вертикальную щель, толщина которой много больше ее высоты и ширины. На рис. 1 изображена типичная конфигурация ячейки с размерами $l\times h\times 2$ (длины измеряются в единицах полутолщины ячейки). Безразмерные уравнение конвекции в приближении Буссинеска имеют вид (1):

$$\begin{array}{cc}\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\frac{1}{\text{Pr }}\left(\overrightarrow{v}\nabla \right)\overrightarrow{v}=-\nabla p+\Delta \overrightarrow{v}+\text{R }T\overrightarrow{\gamma },& \text{(1)}\\ \text{div}\overrightarrow{v}=0,& \text{(2)}\\ \text{Pr }\frac{\partial T}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}\nabla \right)T=\Delta T& \text{(3)}\end{array}$$

Интенсивность подогрева определяется числом Релея, которое измерятся в единицах полутолщины ячейки: $\text{R }=g\beta \Theta d^3∕\nu \chi$.

1.2 Приближение плоских траекторий

В соответствии с приближением Хеле - Шоу будем предполагать, что геометрические параметры задачи удовлетворяют требованию $h,l\gg 1$. Ограничение на толщину ячейки позволяет использовать приближение плоских траекторий, согласно которому в жидкости возможны конвективные движения только в плоскости широких граней $\overrightarrow{v}\left(v_x,v_y,0\right)$. Специфическая постановка позволяет свести трехмерную задачу к плоской, поэтому численное решение уравнений тепловой конвекции (1) выполняется на основе уравнений, записанных в терминах функции тока - $\Psi$, завихренность - $\Phi$ и температуры:

$$\begin{array}{cc}{v}_x=\frac{\partial \Psi }{\partial y},v_y=-\frac{\partial \Psi }{\partial x},& \text{(4)}\\ \frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial }^{2}y}=-\Phi & \text{(5)}\end{array}$$

Поскольку на твердых стенках ячейки выполняются условия прилипания (скорость течения равна нулю), зависимость функции тока и завихренности от поперечной координаты $z$ моделируется тригонометрической функцией:

$$\begin{array}{cc}\Psi \left(x,y,z,t\right)=\psi \left(x,y,t\right)cos\left(\pi z∕2\right),& \text{(6)}\\ \Phi \left(x,y,z,t\right)=\phi \left(x,y,t\right)cos\left(\pi z∕2\right).& \text{(7)}\end{array}$$

1.3 Граничные условия для температуры

Выделим из поля температуры равновесную часть $T\left(x,y,z,t\right)=T_0+\Theta \left(x,y,z,t\right)$, где профиль температуры $T_0$ линейно зависит от вертикальной координаты и соответствует равновесному подогреву снизу $T_0=-y$. На широких границах ячейки тепловой поток от жидкости в массив сохраняется. Если ввести новый безразмерный управляющий параметр число Био, равный отношению теплопроводности массива к теплопроводности жидкости ($\text{Bi}={\kappa }_M∕{\kappa }_F$ ), то граничные условия для отклонения температуры примут вид

В случае $\text{Bi}=0$ вертикальные стенки можно считать теплоизолированными, при $\text{Bi}=\infty$ – идеально теплопроводными. Зависимость температуры от поперечной координаты можно аппроксимировать линейной комбинацией константы и тригонометрической функции $cos\left(\pi z∕2\right)$. Чтобы удовлетворить граничным условиям на широких гранях (8) при $z=а�1$ коэффициенты нужно выбрать следующим образом:

1.4 Основные уравнения задачи (метода Галеркина)

Для сведения трехмерных уравнений тепловой конвекции к двумерным применяется метод Галеркина. В соответствии с методом Галеркина уравнение эволюции для завихренности, уравнение Пуассона для функции тока и уравнение переноса тепла умножаются на базисные функции и интегрируются в направлении $z$ поперек полости, таким образом исключается зависимость от координаты $z$, а в уравнениях появляются новые коэффициенты. Важен выбор базисных функций, традиционно, домножим уравнение для завихренности на базисную функцию завихренности (6), а уравнение для температуры на (9). Возникнут следующие интегралы:

$$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}cos\frac{\pi z}{2}dz=\frac{4}{\pi },\underset{-1}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}{cos}^2\frac{\pi z}{2}dz=1,\underset{-1}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}{cos}^3\frac{\pi z}{2}dz=\frac{8}{3\pi }.& \text{(10)}\end{array}$$

Приходим к следующей системе уравнений тепловой конвекции в терминах функции тока и завихренности, которая впоследствии решалась численно методом конечных разностей:

$$\begin{array}{cc}\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{1}{\text{Pr }}\frac{8}{3\pi }\left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial y}-\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}-\frac{{\pi }^2}{4}\phi -\alpha \text{R }\frac{\partial \theta }{\partial x},& \text{(11)}\\ \text{Pr }\beta \frac{\partial \theta }{\partial t}+\gamma \left(\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \theta }{\partial y}-\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial \theta }{\partial x}\right)=\beta \frac{{\partial }^2\theta }{\partial x^2}+\beta \frac{{\partial }^2\theta }{\partial y^2}-\delta \theta +\alpha \frac{\partial \psi }{\partial x},& \text{(12)}\\ \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=-\phi ,& \text{(13)}\\ \alpha =\frac{4}{\pi }+\frac{2\text{Bi}}{\pi },& \text{(14)}\\ \beta =2+\frac{16\text{Bi}}{{\pi }^2}+\frac{4{\text{Bi}}^2}{{\pi }^2},& \text{(15)}\\ \gamma =\frac{4}{\pi }+\frac{4\text{Bi}}{\pi }+\frac{32{\text{Bi}}^2}{3{\pi }^2},& \text{(16)}\\ \delta =\alpha \frac{\pi \text{Bi}}{2}.& \text{(17)}\end{array}$$

1.5 Граничные условия

На вертикальных и горизонтальных узких границах ($\Gamma$) можно установить граничные условия для скорости двух типов, либо считать границы свободными, либо твердыми. В первом случае можно аналитически решить линейную задачу устойчивости равновесия, граничные условия второго типа реализуется в экспериментах с ячейкой Хеле-Шоу табл. 1.

Верхняя и нижняя границы поддерживаются при постоянных температурах, возмущения температуры обращаются в ноль, узкие вертикальные грани ячейки теплоизолированы:

$$\begin{array}{cc}\theta {|}_{y=0,h}=0,& \text{(18)}\\ \frac{\partial \theta }{\partial x}& |\\ {}_{x=0,l}=0.\end{array}\text{(19)}$$

2 Результаты линейного анализа устойчивости равновесия

2.1 Порог устойчивости равновесия при различных числах Био

При различных скоростях теплообмена на широких стенках (разных числах Био) получены нейтральные границы порога устойчивости равновесия аналитически для свободных границ и численно для твердых. При численном моделировании оценивались инкременты нормальных возмущений на основе сравнения максимальных значений функции тока.

Результаты получены при значениях управляющих параметров, приведенных в таблице 2. Механическое равновесие сменяется одно-, двух-, трех- или четырехвихревым конвективным течением при достижении порогового числа Релея.

Для линейного анализа устойчивости равновесия малые возмущения температуры, функции тока и завихренности можно представить в виде (где $\lambda$ - инкремент):

$$\begin{array}{cc}\theta \left(x,y,t\right)=\theta \left(x,y\right)e^{\lambda t},& \text{(20)}\\ \psi \left(x,y,t\right)=\psi \left(x,y\right)e^{\lambda t},& \text{(21)}\\ \phi \left(x,y,t\right)=\phi \left(x,y\right)e^{\lambda t}.& \text{(22)}\end{array}$$

Для свободных границ решение можно представить в виде разложения по тригонометрическим базисным функциях, удовлетворяющим граничным условиям

$$\begin{array}{cc}\theta \left(x,y,t\right)=\sum cos\frac{\pi nx}{l}sin\frac{\pi my}{h}{e}^{{\lambda }_{nm}t},& \text{(23)}\\ \psi \left(x,y,t\right)=\sum sin\frac{\pi nx}{l}sin\frac{\pi my}{h}{e}^{{\lambda }_{nm}t}.& \text{(24)}\end{array}$$

После подстановки (23) в (11) получим выражение для порога устойчивости равновесия для свободных границ с произвольным соотношением теплопроводностей жидкостей и широких стенок ячейки:

В предельных случаях эта формула переходит в опубликованные ранее выражения для границ устойчивости равновесия. Так в случае идеально теплопроводных широких границ ($\text{Bi}=\infty$) получается известная формула:

В случае идеально теплоизолированных широких границ ($\text{Bi}=0$) получается менее известная формула:

На рис. 2 линии разного цвета описывают пороги устойчивости равновесия для одновихревого (красный), двухвихревого (зеленый), трехвихревого (синий) и четырехвихревого (пурпурный) конвективного течения в случае свободных границ. Точкам обозначены пороги устойчивости равновесия для твердых границ, полученные методом конечных разностей. Видно, достаточно точное соответствие порогов устойчивости равновесия в случае твердых и свободных границ.

Рис. 2: Порог устойчивости равновесия при различных числах Био

На рис. 3 представлены инкременты нормальных монотонных возмущений ($\lambda \left(\text{R }\right)$) в зависимости от числа Релея для теплоизолированных границ $\text{Bi}=0$. Условие $\lambda \left({\text{R }}^{*}\right)=0$ (переход инкремента через ноль) определяет нейтральные возмущения. Сплошные линии соответствуют твердым границам, штриховые - свободным.

Рис. 3: Инкрменты нормальных возмущений в зависимости от числа Релея

3 Надкритические режимы течений

3.1 Амплитудная кривая при $\text{Bi}=0.2$

Был проведен расчет надкритических течений при изменении числа Релея. Получена амплитудная кривая, представленная на рисунке 4.

Рис. 4: Амплитудная кривая при $\text{Bi}=0.2$ : зависимость модуля максимальной функции тока от надкритичности

Согласно численному решению линейной задачи, при превышении порогового числа Релея (${\text{R }}_1=0.89$) возникает одновихревое течение. При надкритичности порядка $1.4$ одновихревое течение сменяется стационарным двухвихревым. На рисунке 4 точки соответствующие двухвихревому течению обозначены квадратами. Штиховая линия на рисунке указывает продолжение амплитудной кривой в подкритическую область до достижения точки пересечения с осью абсцисс. Точка пересечения согласуется с численным решением линейной задачи (${\text{R }}_2=1.06$).

По мере увеличения числа Релея двухвихревое движение сменяется пульсационным режимом, представленном на рисунке 5. Треугольники на рисунке 4 соответствуют осредненному значению максимальной функции тока. Поскольку колебания нерегулярные, невозможно определить максимальное и минимальное значения функции тока при пульсационных колебаниях.

Рис. 5: Распределение функции тока и температуры при пульсационных колебаниях ($\text{Bi}=0.2,\text{R }=3.4$ )

3.2 Колебательный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей

Получены картины течений при различных значениях управляющих параметров (чисел Био и Релея), размеры полости заданы в таблице 3. К сожалению, классического четырехвихревого режима с перезамыканием вихрей в расчетах получить не удалось. Возможно ошибка в уравнениях (11), либо в численном методе (конечные разности). В случае идеально теплопроводных границ получаются колебания с тремя вихрями, при других числа Био наблюдаются пульсационные режимы.

Рис. 6: Распределение функции тока и температуры при $\text{Bi}=500$ , $\text{R }=10$

Рис. 7: Распределение функции тока и температуры при $\text{Bi}=0.6$ , $\text{R }=7$

Рис. 8: Распределение функции тока и температуры при $\text{Bi}=0$ , $\text{R }=2$